salut,
a,b,c > 0 Mq :

j'ai trouvé S >= (ab+bc+ca) / 2 ce qui est inférieur à (a+b+c)²/6 (dommage)

oui c vraiment dommage !!

slttt les amis
on a d aprés chebychev
S >=1/3(a^3/(b+c)² + b^3/(a+c)² + c^3/(a+b)²)((a+b)(b+c)/(c+a) + (a+c)(a+b)/(b+c) + (a+c)(b+c)/(a+b))

on a
(a^3/(b+c)² + b^3/(a+c)² + c^3/(a+b)²)(a+b+c)>=(a²/(b+c) +b²/(a+c) +c²/(a+b))²>=(a+b+c)²/4

(a+b)(b+c)/(c+a) + (a+c)(a+b)/(b+c) + (a+c)(b+c)/(a+b)>=2(a+b+c) (a²+b²>=2ab)

on deduit que S>=(2/3)*(a+b+c)²/4=(a+b+c)²/6
a+

bien, mais g fé autrement : :
par chebychev S >= 1/3(a^3+b^3+c^3)(1/(b+c)^4+1/(a+b)^4+1/(a+c)^4)
avec S =sygma( a^3/(b+c)^4 )
et on a 1/(b+c)^4+1/(a+b)^4+1/(a+c)^4 >= 3/(a+b)(b+c)(c+a)[(a+b)(b+c)(c+a)]^(1/3) >= 9/2(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)
donc S >= 3(a^3+b^3+c^3)/2(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)
et puisque 9(a^3+b^3+c^3) >= (a+b+c)^3 on déduit l'inégo