bonn!

x;y;z>0 tels que x+y+z=1
montrer que 2<= (1-x²)² + (1-y²)²+ (1-z²)²<=(1+x)(1+y)(1+z)
a+

pr celle de minorée par 2 :
elle équiveaut à x^4 + y^4 + z^4 + (x+y+z) >= 2(x²+y²+z²)
on a x^4+x-2x² = x(x-1)(x+r)(x-s) avec s = (rac(5)-1)/2 et r=(rac(5)+1)/2
or soit x,y,z < s ( d'où le résultat ) soit (par exemple) z>s et x,y<s
pr le dernier cas :
on a S =2+x^4+y^4-2(x²+y²)+(x+y)²(1+z)²> 2+x^4+y^4-2(x²+y²)+(2,61)(x+y)²>2
N.B : (1-z²)² = (x+y)²(1+z)² > (x+y)²(1+r)² ~=2,61(x+y)² ( z>s)
mais je pense pas qu'il ya égalité !!

adam a écrit:pr celle de minorée par 2 :
elle équiveaut à x^4 + y^4 + z^4 + (x+y+z) >= 2(x²+y²+z²)
on a x^4+x-2x² = x(x-1)(x+r)(x-s) avec s = (rac(5)-1)/2 et r=(rac(5)+1)/2
or soit x,y,z < s ( d'où le résultat ) soit (par exemple) z>s et x,y<s
pr le dernier cas :
on a S =2+x^4+y^4-2(x²+y²)+(x+y)²(1+z)²> 2+x^4+y^4-2(x²+y²)+(2,61)(x+y)²>2
N.B : (1-z²)² = (x+y)²(1+z)² > (x+y)²(1+r)² ~=2,61(x+y)² ( z>s)
mais je pense pas qu'il ya égalité !!

Salut Adam,
C'est pas trés precis Ce que tu dit ! (s~0.61<1!)
peut tu mieux expliquer ou cherché une Autre méthode?
Merci

ALAOUI a écrit:

adam a écrit:pr celle de minorée par 2 :
elle équiveaut à x^4 + y^4 + z^4 + (x+y+z) >= 2(x²+y²+z²)
on a x^4+x-2x² = x(x-1)(x+r)(x-s) avec s = (rac(5)-1)/2 et r=(rac(5)+1)/2
or soit x,y,z < s ( d'où le résultat ) soit (par exemple) z>s et x,y<s
pr le dernier cas :
on a S =2+x^4+y^4-2(x²+y²)+(x+y)²(1+z)²> 2+x^4+y^4-2(x²+y²)+(2,61)(x+y)²>2
N.B : (1-z²)² = (x+y)²(1+z)² > (x+y)²(1+r)² ~=2,61(x+y)² ( z>s)
mais je pense pas qu'il ya égalité !!

Salut Adam,
C'est pas trés precis Ce que tu dit ! (s~0.61<1!)
peut tu mieux expliquer ou cherché une Autre méthode?
Merci

quand meme c'est une solution !! mais si tu veux pas d'approximation tiens :
(1-z²)² > (x+y)²(1+s)² , on a (s+1)² = r² > 2 ==> S > 2+x^4+y^4+(r²-2)(x²+y²)+2r²xy > 2
r² = 6/4 + rac(5)/2 > 1+1 = 2 ( car 6>4 et 5>4==>rac(5)> rac(4) =2)
pr ce qui est en rouge : au moins deux nombres seront <s car sinn on aura x+y+z>2s>1 (contradictoire avec l'ennocé)
si x,y,z<s on aura x(x-1)(x+r)(x-s) > 0 car x<1 et x<s ainsi pr les autre CQFD